La Mediana: (Para datos agrupados):

La mediana es una medida de tendencia central que se ubica en la mitad de los datos.

La expresión matemática que permite hallar la mediana es:  

L + (n/2  -  fa) / f   (w)

Donde:

L: Limite inferior de la clase que contiene a la mediana.

N: Número total de frecuencias.

F: Frecuencia de la clase que contiene la mediana.

Fa: Frecuencia acumulada que precede inmediatamente a la clase en la que se encuentra la mediana.

W: Es el ancho o espesor de l clase en la que se encuentra la mediana.

Ejemplo de la medida aritmetica para datos agrupados:

El precio de los arriendos del Parque Industrial en la ciudad de Pereira se muestra en la siguiente lista:

-200.000, -1`000.000, -210.000, -990.000, -230.000, -970.000, -240.000, -380.000, -310.000, -980.000, -870.000, -370.000, -410.000, -470.000, -510.000, -840.000,   -640.000, -560.000, -590.000, -890.000, -830.000, -220.000, -240.000, -960.000,   -910.000, -990.000, - 820.000, -860.000, -910.000, -950.000, -250.000, -390.000,    -340.00, -290.000, -260.000, -280.000, -370.000, -830.000, -760.000, -870.000.

Pasos de solución:

1) Se ordenan los datos y en esta oportunidad lo hacemos en forma ascendiente:

-200.000, -210.000, -220.000, -230.000, -240.000, -240.000, -250.000, -260.000,   -280.000, -290.000, -310.000, -340.000, -370.000, -370.000, -380.000, -390.000,           -410.000, -470.000, -510.000, -560.000, -590.000, -640.000, -760.000, -820.000,       -830.000, -830.000, -840.000, -860.000, -870.000, -870.000, -890.000, -910.000,       -910.000, -950.000, -960.000, -970.000, -980.000, -990.000, -990.000, -1`000.000.

2) Interbalo De Clase:      Es la distacia entre el limite inferior izquierdo y el limite superior derecho.   Para hallar el rango nos dejamos ayudar de la siguiente expresión:

Intervalo de clase: (Dato mayor-Dato menor)/(1+3,322  log(n))

Intervalo de clase: (1`000.000-200.000)/(1+3,322  log⁡(40)) =

Intervalo de clase: 800.000/6,322      =       126,541 

Los anteriores datos son ayuda para ubicar el ancho y expesor del intervalo de clase (126,541 y el denominador 6,32), la cantidad de intervalos de clase o rangos.       Pero son solo ayudas, ya que el consultor de estadística tiee la opción de recoger números comerciales o fáciles de recordar.

Rango                          f                         x ̅                      F . x ̅

Intervalo de clase    Frecuencia  Punto Medio Frecuencia * Punto Medio

200.000 – 326.541      11           263.270,5   2`895.975,5

326.542 – 453.083       6            389.812,5      2`338.875

453.084 – 579.625       3            516.354,5   1`549.063,5

579.626 – 706.165       2            642.895,5     1`285.791

706.166 – 832.706       4            769.436       3`077.744

832.707 – 959.247   8             895.977        7`167.816

959.248 – 1`085.788 6          1`022.518        6`135.108

Explicación para hallar los datos de la tabla:

Intervalo de clase:     dato menor + intervalo de clase del paso 2.

Ej:  200.000 + 126.541 =  326.541

Y para los siguientes se suman el resultado anterior adicionándole un valor mas con el intervalo de clase de siempre.

Ej:  326.542 + 126.541  =  453.083   

Y asi sucesivamente hasta llegar al rango de 1`…..     que es dato mayor que nos dan. 

Frecuencia:     es en número de datos que hay en cada rango de los valores del intervalo de clase. 

Ej:   de 200.000 a 326.541 hay  11  datos. 

Punto medio:   se suman los datos del intervalo de clase del cuadro y se dividen por 2. 

Ej: 

 x ̅1  :  (200.000+ 326.541)/2 =    263.270,5

x ̅2 :  (326.542+ 453.083)/2    =  389.812,5

x ̅3 : (453.084 +  579.625)/2  =  516.354,5

x ̅4 : (579.626 +  706.165)/2  = 642.895,5

x ̅5 : (706.166 +  832.706)/2 =  769.436

x ̅6 : (832.707 +  959.247)/2 = 895.977

x ̅7 : (959.248 +  1`085.788)/2 = 1`022.518

Frecuencia * punto medio:  pues en este paso ya después de hallada la frecuencia y el punto medio se multiplican.

3) Ahora si se halla la medida aritmetica con la formula antes dada: 

Se suman todos los datos de f * x  de la tabla y se dividen por n.

Ej:   x ̅ = (∑▒fx)/n   =     (24`624.990)/40  =       615.625

R/ta: La media aritmetica para los datos agrupados de los arrendos en el parque industrial en la ciudad de Pereira es:    $615.625

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS MUESTRALES

Medida Aritmetica (x ̅): 

La medida aritmetica para datos agrupados es una medida de tendencia central y se diferencia de los datos no agrupados en el tratamiento de su propia agrupación.

La expresión que permite calcular la media aritmetica es:

   x ̅ = (∑▒fx)/n

X: Punto medio       

f: frecuencia de la clase

Fx: frecuencia de la clase multiplicada por el punto medio

N: numero total de frecuencia

Para desarrollar las medidas de tendencia central para datos agrupados muestrales, se necesita hacer un proceso que lo explicaremos por medio de un ejercicio.

        

Segunda Forma De Media Geometrica:

Es un mecanismo para hallar porcentajes cuando se suministran valores absolutos.

La expresión matematica esta dada por:

M.G =  √(n-1&(Valor final del periodo)/(Valor inicial del periodo ))  -1

                      

Ejemplo de media geometrica:

El salario minimo en Colombia en 1990 se ubicaba en $41.125 y en el año 2004 fue de $358.000.  Identifique mediante la media geometrica, la tasa de interés.

Solución:    n: numero de años = 15      Valor final del periodo = $358.000   Valor inicial del periodo = $41.125

M.G =  √(15-1&(358.000 )/41.125) – 1    

  M.G = 0,1671      TI = 16,71%

R/ta: Desde el punto de vista financiero significa que el incremento anual promedio fue del 16,71%, y se expresa en porcentaje, debido a q la solicitud del problema es de la tasa de interés significando que a lo largo del periodo de 1990 al 2004 el incremento anual fue de 16,71%.

La Media Geometrica:

Es otra medida de tendencia central que tiene 2 formas de presentación.

La primera se encuentra calculando la raíz encima del producto de los (n) de los datos de la siguiente manera:

Ejemplo:  encontrar la media geometrica en los siguientes datos:

Estudiantes	Materias perdidas
1	2
2	3
3	1
4	1
5	3
6	3
7	0
8	3
9	0
10	3
11	5
12	3
13	3
14	2
15	4
16	2
17	3
18	3
19	2
20	1
21	5
22	1
23	0

√(20&2*3*1*1*3*3*3*3*5*3*3*2*4*2*3*3*2*1*5*1) 

M * g: 2,37

X: 2 + 3 +1 +1 +3 +3 +3 +3 +5 +3 +3 +2 +4 +2 +3 +3 +2 +5 +1  

                                                   20

X:  53    X: 2,65

     10

Estudiantes	Materias perdidas
7	0
9	0
23	0
3	1
4	1
20	1
22	1
1	2
14	2
16	2
19	2
2	3
5	3
6	3
8	3
10	3
12	3
13	3
17	3
18	3
15	4
11	5
21	5

Estudiantes:  2                   Materias perdidas:  3

M: 3     mediana de las materias perdidas.

La  Mediana (M):

Medida de tendencia central que se ubica en la mitad de los datos.  Requiere que los datos estén ordenados de menor a mayor o viceversa, es decir, que hay tantos valores por encima, como por debajo de ella en ordenación de datos. 

Ejemplo De La Media Aritmetica Y La Mediana: 

En un grupo de estudiantes se registraron las siguientes edades:

estudiante	edad	estatura
1	16	1,64
2	17	1,62
3	17	1,59
4	16	1,61
5	16	1,72
6	16	1,72
7	17	1,57
8	15	1,77
9	18	1,52
10	16	1,76
11	17	1,71
12	15	1,80
13	16	1,75
14	15	1,65
15	16	1,80
16	18	1,54
17	16	1,65
18	16	1,81
19	18	1,76
20	17	1,78

Se pide encontrar la media aritmética y la mediana de la estatura y de la edad.

Solucion:

X:  16 +17 +17 +16 +16 +16 +17 +15 +18 +16 +17 +15 +16 +15 +16 +18 +16 +16           +18 +17

20

x: 328                           x: 16,4   media aritmética de la edad.

       20

x:  1,64 +1,62 +1,59 +1,61 +1,72 +1,72 +1,57 +1,77 +1,52 +1,76 +1,71 +1,80 +1,75 +1,65 +1,80 +1,54 +1,65 +1,81 +1,76 +1,78

20

x: 33,74                 x: 1,687   media aritmética de la estatura.

       20

estudiante	edad	estatura
8	15	1,77
12	15	1,80
14	15	1,65
1	16	1,64
4	16	1,61
5	16	1,72
6	16	1,72
10	16	1,76
13	16	1,75
15	16	1,80
17	16	1,65
18	16	1,81
2	17	1,62
3	17	1,59
7	17	1,57
11	17	1,71
20	17	1,78
9	18	1,52
16	18	1,54
19	18	1,76

Mediana:

Estudiantes:   15 y 17            edad: 16 y 16

M: 16 + 16            M: 32   la mediana de la edad.

estudiante	edad	estatura
9	18	1,52
16	18	1,54
7	17	1,57
3	17	1,59
4	16	1,61
2	17	1,62
1	16	1,64
14	15	1,65
17	16	1,65
11	17	1,71
5	16	1,72
6	16	1,72
13	16	1,75
10	16	1,76
19	18	1,76
8	15	1,77
20	17	1,78
12	15	1,80
15	16	1,80
18	16	1,81

Estudiante: 11 y 5                   estatura: 1,71  y 1,72

M: 1,71 + 1,72:       M: 3,43   mediana de la estatura.